Bagian bagian Lingkaran, Rumus, Penjelasan & Soal Lengkap

bagian bagian lingkaran

Bagian bagian Lingkaran [Materi Lengkap] – Pembelajaran mengenai bagian-bagian lingkaran dan konsep-konsepnya diajarkan pada kelas VIII SMP. Siswa belajar tentang sudut pusat, sudut keliling, panjang busur serta luas juring lingkaran.

Jika ditinjau dari dari kompetensi dasarnya, materi bagian-bagian lingkaran tercakup dalam Kompetensi Dasar (KD) berikut:

KI3 Pengetahuan: 3.7 Menjelaskan sudut pusat, sudut keliling, panjang busur, dan luas juring lingkaran, serta hubungannya.

KI4 Keterampilan: 4.7 Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan sudut pusat, sudut keliling, panjang busur, dan luas juring lingkaran, serta hubungannya.

Artikel ini mencoba menyampaikan materi mengenai bagian-bagian lingkaran selengkap-lengkapnya. Semoga membantu kalian yang membutuhkan materi ini kegiatan belajar mangajar.

Pengertian Lingkaran

Lingkaran adalah kumpulan titik-titik yang membentuk lengkungan tertutup, dimana titik-titik tersebut berjarak sama terhadap titik tertentu (Agus, 2009).

Bagian-bagian Lingkaran

Terdapat beberapa bagian lingkaran yang termasuk dalam unsur-unsur lingkaran diantaranya titik pusat, jari-jari, diameter, tali busur, busur, juring, dan tembereng (Agus, 2007; Kemendikbud, 2017; Solomonovich, 2010).

Perhatikan gambar 2.2 berikut:

bagian bagian lingkaran berpusat di O

1. Titik Pusat

Titik pusat lingkaran adalah titik yang terletak di tengah-tengah lingkaran. Pada gambar 2.2 titik O merupakan titik pusat lingkaran. Oleh karena itu lingkaran tersebut dinamakan lingkaran.

2. Jari-jari (r)

Jari-jari lingkaran adalah ruas garis yang menghubungkan titik pusat dengan sebarang titik pada lingkaran. Jari-jari lingkaran pada Gambar 2.2, ditunjukkan oleh garis OA, OB dan OC

3. Diameter

Diameter adalah tali busur terpanjang yang melalui titik pusat lingkaran. Diameter lingkaran O pada Gambar 2.2 ditunjukkan oleh garis AB. Perhatikan AB = AO + OB . Artinya, panjang diameter merupakan dua kali panjang jari-jarinya, atau dapat ditulis d = 2r

4. Tali Busur

Tali busur lingkaran adalah ruas garis yang menghubungkan dua titik pada lingkaran. Tali busur berbeda dengan diameter.

Perhatikan garis AC pada Gambar 2.2. Garis AC merupakan tali busur dari lingkaran O. Garis tersebut tidak melalui titik pusat lingkaran. Artinya, tali busur tidak melalui titik pusat lingkaran.

5. Busur

Busur lingkaran adalah kurva lengkung yang berhimpit dengan lingkaran. Pada Gambar 2.2, garis lengkung AC, garis lengkung CB, dan garis lengkung AB merupakan busur lingkaran O.

6. Tembereng

Tembereng adalah luas daerah dalam lingkaran yang dibatasi oleh busur dan tali busur. Tembereng pada Gambar 2.2, ditunjukkan oleh daerah arsiran yang dibatasi oleh busur AC dan tali busur AC

7. Juring

Juring lingkaran adalah luas daerah dalam lingkaran yang dibatasi oleh dua buah jari-jari lingkaran tersebut. Juring lingkaran pada Gambar 2.2, ditunjukkan oleh daerah arsiran yang dibatasi oleh jari-jari OC dan OB serta busur BC, dinamakan juring BOC

8. Apotema

Apotema lingkaran merupakan garis yang menghubungkan titik pusat lingkaran dengan tali busur lingkaran tersebut. Garis yang dibentuk bersifat tegak lurus dengan tali busur.

Keliling dan Luas

Keliling Lingkaran

Baca Juga:  Surplus Sarjana Pendidikan: Calon Guru Mau Kemana?

Keliling lingkaran adalah jarak dari suatu titik pada lingkaran dalam satu putaran hingga kembali ke titik semula (Nugroho & Meisaroh, 2009).

Pada pembahasan di bagian depan diperoleh bahwa pada setiap lingkaran nilai perbandingan keliling (K) per diameter (d) menunjukkan bilangan yang sama atau tetap disebut π.

Karena K/d=π, sehingga didapat K = π d. Karena panjang diameter adalah 2 x jari-jari atau d = 2r, maka: K = 2πr

Jadi, didapat rumus keliling (K) lingkaran dengan diameter (d) atau jari-jari (r) adalah:

k= πd atau k= 2πr

Luas Lingkaran

Luas lingkaran adalah daerah di dalam lingkaran yang dibatasi oleh keliling lingkaran.

Untuk menemukan rumus luas lingkaran, lakukan kegiatan dengan langkah-langkah berikut:

bagian bagian lingkaran rumus luas lingkaran

  1. Buatlah lingkaran dengan jari-jari 10 cm.
  2. Bagilah lingkaran tersebut menjadi dua bagian sama besar dan arsir satu bagian
  3. Bagilah lingkaran tersebut menjadi 12 bagian sama besar dengan cara membuat 12 juring sama besar dengan sudut pusat 30° (Gambar (i)).
  4. Bagilah salah satu juring yang tidak diarsir menjadi dua sama besar.
  5. Gunting lingkaran beserta 12 juring tersebut.
  6. Atur potongan-potongan juring dan susun setiap juring sehingga membentuk gambar mirip persegi panjang, seperti pada Gambar (ii) di atas.

Jika lingkaran dibagi menjadi juring-juring yang tak terhingga banyaknya, kemudian juring-juring tersebut dipotong dan disusun seperti Gambar (ii) maka hasilnya akan mendekati bangun persegi panjang.

Perhatikan bahwa bangun yang mendekati persegi panjang tersebut panjangnya sama dengan setengah keliling lingkaran (3,14 x 10 cm = 31,4 cm) dan lebarnya sama dengan jari-jari lingkaran (10 cm).

Jadi, luas lingkaran dengan panjang jari-jari 10 cm = luas persegi panjang dengan p = 31,4 cm dan l = 10 cm.

Luas lingkaran = p x l

luas lingkaran = 31,4 cm x 10 cm

luas lingkaran = 314 cm

Dengan demikian, dapat kita katakan bahwa luas lingkaran dengan jari-jari r sama dengan luas persegi panjang dengan panjang πr dan lebar r, sehingga diperoleh:

L = π rxr

L = π r2

Karena r = ½d, maka

L = π(½d)2

L = π (½d)2

L = ¼ π d2

Jadi, dapat diambil kesimpulan bahwa luas lingkaran L dengan jari-jari r atau diameter d adalah:

L = π r2 atau L = ¼ π d2

Jadi jika diringkas, rumus keliling & luas lingkaran adalah sebagai berikut:

Rumus keliling, K = 2πr = πd

Rumus Luas lingkaran: L = πr2

Dengan:

π = 22/7 atau 3, 14

r = jari-jari

d = diameter

Sudut-sudut Pada Bidang Lingkaran

1. Sudut Pusat dan Sudut Keliling

Sudut pusat merupakan sudut yang dibentuk oleh dua buah jari-jari lingkaran dan menghadap suatu busur lingkaran. Sedangkan sudut keliling merupakan sudut pada lingkaran yang dibentuk oleh dua buah tali busur (Agus, 2007; Nugroho & Meisaroh, 2009).

2. Hubungan Sudut Pusat dan Sudut Keliling

Pada Gambar 2.3, <AOB dan <BDF masing-masing adalah sudut pusat dan sudut keliling lingkaran. Keduanya sama-sama menghadap busur AB.

gambar 2. 3 sudut pusat sudut keliling

Jika sudut pusat dan sudut keliling menghadap busur yang sama maka besar sudut pusatnya adalah dua kali dari besar sudut keliling.

3. Sifat Sudut Keliling

  • Sudut keliling yang  menghadap  diameter  lingkaran  selalu  membentuk sudut siku-siku atau sudut 90 derajat.
  • Sudut keliling yang menghadap busur yang sama memiliki besar sudut yang sama.
  • Jumlah sudut keliling yang berhadapan sama dengan 180 derajat.
Baca Juga:  Al Azhar Yogyakarta Boarding School Sambut Santri baru

Hubungan antara Sudut Pusat, Panjang Busur, dan Luas Juring

Perbandingan besar sudut pusat sebanding dengan luas juring dan sebanding dengan panjang busur yang dihadapan sudut pusat (Nugroho & Meisaroh, 2009; Marsigit dkk., 2011).

Secara matematis dapat ditulis seperti pada capture gambar berikut:

hubungan sudut pusat dan luas juring

Contoh Soal Tentang Bagian-bagian, Keliling & Luas Lingkaran

1. Hitunglah keliling lingkaran jika diketahui diameternya 14 cm;

Pembahasan

  • d = 14 cm sehingga:
  • K = πd = 22/7 x 14 cm = 44 cm

Jadi, keliling lingkaran adalah 44 cm.

2. Hitunglah luas lingkaran jika jari-jari = 7 cm,

Pembahasan

  • r = 7
  • L = πr2
  • L = 22/7 x 72
  • L = 154

Jadi, luas lingkaran = 154 cm2.

3. Ali akan membuat kolam ikan yang berbentuk lingkaran dengan jari-jari 7 m. Hitunglah luas kolam ikan yang akan dibuat oleh Ali.

Pembahasan

Karena yang diketahui hanya jari-jarinya dan panjang jari-jari lingkaran merupakan kelipatan 7 maka gunkan π = 22/7. Luas lingkaran dapat dihitung yakni:

  • L = πr2
  • L = (22/7).(7 m)2
  • L = 154 m2

Jadi, luas kolam ikan yang akan dibuat oleh Ali adalah 154 m2

Catatan:

Jika jari-jari lingkaran diketahui maka rumus untuk mencari luas lingkaran yakni:L = πr2,  dimana:

  • L = luas lingkaran
  • π = 3,14 atau 22/7
  • r = jari-jari lingkaran
  • Perlu diketahui, jika jari-jari lingkaran yang diketahui merupakan kelipatan dari 7 maka gunakan π = 22/7, sedangkan jika jari-jari lingkaran yang diketahui merupakan bukan kelipatan dari 7 maka gunakan π = 3,14.

4. Perhatikan gambar lingkaran berikut:

Perhatikan gambar bagian bagian lingkaran berikut.

Dari gambar tersebut, tentukan:

(a) titik pusat,

(b) jari-jari,

(c) diameter,

(d) busur,

(e) tali busur,

(f) tembereng,

(g) juring,

(h) apotema.

Pembahasan

(a) titik pusat = A,

(b) jari-jari = AF, AD, dan AE,

(c) diameter = DF,

(d) busur = garis lengkung CD, DE, EF, dan CF,

(e) tali busur = CF,

(f) tembereng = daerah yang dibatasi oleh busur CF dan tali busur CF,

(g) juring = EAF dan DAE,

(h) apotema = garis AB

5. Perhatikan gambar lingkaran berikut:

gambar bagian bagian lingkaran soal no5

Jika jari-jari lingkaran tersebut adalah 10 cm dan panjang tali busurnya 16 cm, tentukan:

(a) diameter lingkaran,

(b) panjang garis apotema.

Pembahasan

(a) Diameter merupakan dua kali jari-jari lingkaran: Diameter (d) = 2 × jari – jari.

Diameter (d) = 2 × (10 cm) Diameter (d) = 20 cm

Jadi, diameter lingkaran tersebut adalah 20 cm.

(b) Perhatikan segitiga OQR. Panjang OQ = 10 cm dan QR = 8 cm.

Menurut Teorema Pythagoras : OR² = OQ² –QR²

OR²= (10)² – (8)²

OR²= 100- 64

OR² = 36

OR = √36 cm2

OR = 6 cm. Jadi, panjang garis apotema lingkaran tersebut adalah 6 cm.

6. Hitunglah keliling lingkaran jika diketahui:

(a) diameter 14 cm;

(b) jari-jari 35 cm.

Pembahasan

(a) d = 14 cm sehingga:

K = πd = 22/7 x 14 cm = 44 cm.

Jadi, keliling lingkaran adalah 44 cm.

Baca Juga:  Materi Pedagogik Guru PPPK (P3K) 2021 Tes Kompetensi Teknis

(b) r = 35 cm sehingga:

K = 2πr

K = 2(22/7) 35 cm

K = 220 cm

Jadi, keliling lingkaran = 220 cm

7. Hitunglah luas lingkaran jika

(a) jari-jarinya 7 cm;

(b) diameternya 20 cm.

Pembahasan

(a) jari-jari = 7 cm, maka r = 7

L = πr2

L = 22/7 x 72

L = 154

Jadi, luas lingkaran = 154 cm2

(b) diameter = 20 cm, maka d = 20

L = ¼ π d2

L = ¼ x 3,14 x 202

L = 314

Jadi, luas lingkaran = 314 cm2

8. Sebuah lingkaran berpusat di titik O seperti gambar berikut:

bagian lingkaran sudut pusat soal no 8

Tentukan besar sudut AOB!

Pembahasan
Sudut AOB adalah sudut pusat yang menghadap busur yang sama dengan sudut ACB yang merupakan sudut keliling. Hubungan antara sudut AOB dan sudut ACB dengan demikian adalah:
∠AOB = 2 × ∠ACB

Sehingga
∠AOB = 2 × 55° = 110°

9. Diberikan sebuah lingkaran sebagai berikut!

bagian lingkaran soal no 9

∠DFE besarnya adalah 70° dan ∠ DPE adalah (5x − 10)°. Tentukan nilai x.

Pembahasan
Variasi dari soal nomor satu dengan penggunaan sifat sudut pusat dan sudut keliling yang sama,
Hubungan antara sudut DPE dan sudut DFE dengan demikian adalah:
∠DPE = 2 ∠DFE

Sehingga
(5x − 10)° = 2 × 70°
5x − 10 = 140
5x = 140 + 10
5x = 150
x = 150/5 = 30

10. Diketahui: ∠AOB = 65°, Tentukan besar ∠ ACB

bagian lingkaran soal no 10

Pembahasan
Hubungan antara sudut ACB (sudut keliling) dan sudut AOB (sudut pusat):
∠ ACB = 1/2 × ∠ ACB
∠ ACB = 1/2 × 65° = 32,5°

11. Perhatikan gambar berikut!

Perhatikan gambar berikut!

Titik O adalah titik pusat lingkaran dan besar sudut EGH = 53°. Tentukan besar sudut EFH

Pembahasan
Baik HGE maupun EFH keduanya adalah sudut keliling. EGH dan EFH menghadap busur yang sama. Dua sudut keliling yang demikian akan memiliki besar yang sama pula. Sehingga besar sudut EFH juga 53°

12. Perhatikan gambar berikut!

bagian lingkaran soal no 12

Tentukan besar ∠ BDC dan ∠ ACD

Pembahasan
∠BDC = ∠ CAB = 30°
∠ ACD = ∠ ABD = 50°

13. Perhatikan gambar!

bagian lingkaran soal no 13a

Tentukan besar:
a) ∠PQR
b) ∠QOR

Pembahasan
a) ∠ PRQ adalah sudut keliling yang menghadap sebuah busur yang memiliki tali busurnya merupakan diameter lingkaran (garis PQ). Sudut keliling yang demikian memiliki besar 90°.

bagian lingkaran soal no 13b

Dari sifat segitiga (jumlah ketiga sudutnya adalah 180°) dapat ditentukan besar sudut PQR:
∠PQR = 180 − 90 − 20 = 70°

b) ∠ QOR = 2 × ∠ RPQ = 2 × 20° = 40°

14. Perhatikan gambar!

bagian lingkaran soal no 14

Tentukan besar:
a) ∠BCD
b) x

Pembahasan
a) ∠BCD
Pada kasus ini ∠BCD berhadapan dengan

∠ BAD (bukan sehadap, tapi berhadapan)

sehingga jumlahnya adalah 180°
∠BCD + ∠BCD = 180°
∠BCD = 180° − ∠ BAD = 180 − 60° = 120°

b) x
5x = 120°
x = 120° / 5 = 24°

 

You May Also Like

About the Author: Ageng Triyono

Curriculum Researcher & Developer | Guru Kampung | Penulis Lepas

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *