Contoh Soal Program Linear Kelas 11 dan Jawabannya

Haidunia.com – Contoh soal program linear kelas 11 ini cocok sekali bagi kalian yang duduk di kelas 11. Apalagi sedang membutuhkan materi dan contoh soal program linear. Maka tepat sekali jika membuka laman ini.

Contoh soal program linear kelas 11 dan jawabannya yang kami sajikan adalah untuk membantu kalian belajar mempersiapkan ulangan harian, Penilaian Tengah Semester (PTS), Penilaian Akhir Semester (PAS).

Contoh soal program linear kelas 11 juga sering muncul pada tes seleksi masuk PTN UTBK-SMPTN. Jadi, mari kita pelajari dengan seksama materi program linear berikut ini. Semoga yang tim haidunia.com sajikan bisa menjadi solusi kesulitan belajar pada materi ini.

Contoh Soal Program Linear Kelas 11 

Contoh Soal Program Linear Kelas 11 ini terdiri dari 10 soal pilihan ganda. Sengaja kami lengkapi dengan pembahasannya agar mempermudah proses kalian dalam memahami materi ini. Silahkan disimak, dan selamat belajar!

Soal (1)
Jika titik (x,y) memenuhi 2x + 3 ≥ y ≥ x², maka nilai maksimum x + 2y adalah ….

(A) 21
(B) 12
(C) 1
(D) -1
(E) 9

Jawaban: A
2x + 3 ≥ y ≥ x² dapat dipecah menjadi y ≥ x² dan y ≤ 2x + 3
Menentukan titik potong kedua kurva:

y₁ = y₂
x² = 2x+3
x² – 2x – 3 = 0
(x+1)(x-3) = 0
x = -1 atau x = 3

Untuk x = -1; y= -12 =1, maka titiknya menjadi (-1,1)
Untuk x = 3; y = 32 = 9, maka titiknya menjadi (3,9)

Menentukan nilai maksimum x +2 y
Untuk di titik (-1,1) → -1 + (2)(1) = 1
Untuk di titik (3,9) → 3 + (2)(9) = 21
Jadi nilai maksimum dari x + 2y adalah 21. Jadi jawaban yang benar adalah A.

Soal (2)
Pada sistem pertidaksamaan x + y ≥ 2, x – y ≤ 0, x – 4y ≥ -18 berlaku 3x + 2y ≥ k. Nilai k terbesar adalah ….

(A) 2
(B) 5
(C) 10
(D) 20
(E) 30

Jawaban: E
Untuk 3x + 2y ≥ k, nilai k terbesar sama dengan nilai maksimum dari (3x + 2y), sehingga fungsi tujuannya adalah f(x,y) = 3x + 2y dengan kendala x + y ≥ 2, x – y ≤ 0, x – 4y ≥ -18

Eliminasi x + y ≥ 2 dan x – y ≤ 0
x + y = 2
x – y = 0 _
2y = 2,

Maka y = 1; x = 1. Sehingga titiknya adalah (1,1).
Eliminasi x + y ≥ 2 dan x – 4y ≥ -18
x + y = 2
x – 4y = -18 _
5y = 20,

Maka y = 4; x = -2. Sehingga titiknya adalah (-2,4).
Eliminasi x – y ≤ 0 dan x – 4y ≥ -18

x – y = 0
x – 4y =- 18 _
3y = 18

Maka y = 6; x = 6. Sehingga titiknya adalah (6,6).
Subtitusikan semua titik ke fungsi tujuan f(x,y) = 3x + 2y

Untuk titik (1,1) nilai f(1,1) = 3(1) + 2(1) = 5

Untuk titik (-2,4) nilai f(-2,4) = 3(-2) + 2(4) = 2

Untuk titik (6,6) nilai f(6,6) = 3(6) + 2(6) = 30.

Nilai maksimum 3x + 2y = 30 sehingga k ≤ 3x + 2y → k ≤ 30, jadi nilai maksimum k adalah 30. Sehingga jawaban yang benar adalah E.

Soal (3)
Seorang penjahit pakaian akan membuat 2 model pakaian. Dia mempunyai persediaan kain polos 30 meter dan kain bermotif 15 meter. Model A memerlukan 1 meter kain polos dan 1 meter kain bermotif, sedangkan model B memerlukan 2 meter kain polos dan 0,5 kain bermotif. Maksimum banyak pakaian yang dapat dibuat adalah ….

(A) 15
(B) 20
(C) 25
(D) 30
(E) 35

Jawaban: B

Kain Polos
Model A: 1
Model B: 2
Persediaan: 30

Kain Bermotif
Model A: 1
Model B: 0,5
Persediaan: 15

Misalkan model A = x dan model B = y, maka sistem pertidaksamaannya adalah :
x + 2y ≤ 30
x + 0,5y ≤ 15
x ≥ 0
y ≥ 0

Fungsi obyektifnya adalah:
f(x,y) = x + y

Maka daerah penyelesaiannya adalah daerah yang tidak diarsir sebagai berikut:

Sumber : https://www.geogebra.org/geometry

Titik potongnya adalah:
x + 2y = 30
x – 0.5y = 15_
1.5y = 15

y = 10, maka x = 10
Uji titik potong:
f(x,y) = x + y
f(0,15) = 0 + 15 = 15
f(10,10) = 10 + 10 = 20
f(15,0) = 15 + 0 = 15
Jadi banyak pakaian yang dapat dibentuk adalah 20. Jadi jawaban yang tepat adalah B.

Soal (4)
Untuk membuat barang  diperlukan  jam kerja mesin I dan  jam kerja mesin II. Sedangkan untuk barang  diperlukan jam kerja mesin I dan  jam kerja mesin II. Setiap hari mesin I bekerja tidak lebih dari jam kerja, sedangkan mesin II tidak lebih dari  jam kerja. Jika setiap hari dapat dihasilkan  barang  dan  barang , maka model matematikanya adalah ….

(A) 4x + 3y ≤ 10, 6x + 9y ≤ 15, x ≥ 0, y ≥ 0
(B) 4x + 3y ≤ 15, 6x + 9y ≤ 10, x ≥ 0, y ≥ 0
(C) 3x + 4y ≤ 10, 9x + 6y ≤ 15, x ≥ 0, y ≥ 0
(D) 2x + y ≤ 5, 3x + 3y ≤ 5, x ≥ 0, y ≥ 0
(E) 2x + 3y ≤ 5, x + 3y ≤ 5, x ≥ 0, y ≥ 0

 Jawaban: E

Mesin I
Barang A(x): 4
Barang B(y): 6
Maksimal jam kerja: 10

Mesin II
Barang A(x): 3
Barang B(y): 9
Maksimal jam kerja: 15

Sehingga model matematikanya adalah:
4x + 6y ≤ 10 → 2x + 3y ≤ 5
3x + 9y ≤ 15 → x + 3y ≤ 5
x ≥ 0
y ≥ 0

Jadi model matematikanya adalah:

• 2x + 3y ≤ 5
•  x + 3y ≤ 5
• x ≥ 0
• y ≥ 0

Jadi jawaban yang tepat adalah E.

Soal (5)
Nilai maksimum dari 15x + 10 untuk x dan y yang memenuhi x + y ≥ 15, 0 ≤ x ≤ 15, 0 ≤ y ≤ 20 adalah ….

(A) 245
(B) 145
(C) 225
(D) 10
(E) 20

Jawaban: A
Daerah penyelesaiannya adalah daerah yang tidak diarsir sebagai berikut :

Sumber: https://www.geogebra.org/geometry

Subtitusi semua titik pojok ke fungsi tujuan: f(x,y) = 15x + 10
A (0,15) = 15.0 + 10 = 10
B (0,20) = 15.0 + 10 = 10
C(15,20) = 15.15 + 10=235
D(15,0) = 15.15 + 10=235
Jadi nilai maksimumnya adalah 235. Jadi jawabannya adalah A.

Soal (6)
Pesawat penumpang berkapasitas 50kursi tempat duduk, setiap penumpang kelas ekonomi boleh membawa bagasi 20 kg, sedangkan kelas utama 50 kg. Kapasitas maksimum bagasi adalah 1300 kg. Harga tiket kelas ekonomi adalah Rp 000 sedangkan kelas utama adalah Rp 750.000. Supaya pendapatan dan penjualan tiket pada saat pesawat penuh mencapai maksimum, jumlah penduduk kelas utama haruslah ….

(A) 40
(B) 10
(C) 50
(D) 26
(E) 0

Jawaban: B
Misal kelas utama = x, dan kelas ekonomi =y
Kapasitas: x + y ≤ 50 → (0,50), (50,0)

Bagasi: 50x + 20y ≤ 1300 → 5x + 2y ≤ 130 → (0,65), (26,0)
Fungsi tujuan: f(x,y) = 750.000x + 350.000y
Menentukan titik potong kedua garis :

x + y = 50     |×2|  2x + 2y = 100
5x + 2y = 130  |×1| 5x + 2y = 130   _

-3x = -30

x = 10, maka y = 40
Daerah penyelesaiannya adalah daerah yang tidak diarsir sebagai berikut:

(sumber: https://www.geogebra.org/geometry )

Subtitusi semua titik pojok ke semua fungsi tujuan:
f(x,y) = 750.000x + 350.000y

A(0,50) = (750.000)(0) + (350.000)(50) = 17.500.000
B(10,40) = (750.000)(10) + (350.000)(40) = 21.500.000
C(26,0) = (750.000)(26) + (350.000)(0)  =19.500.000

Sehingga pendapatan maksimumnya adalah Rp 21.500.000 saat penjualan kelas utama sebanyak 10 tiket dan kelas ekonomi sebanyak 40 tiket.
Jadi jumlah penumpang kelas utama adalah 10 orang. Jawaban yang benar adalah B.

Soal (7)
Agar titik (x,y) = (1,1) berada dalam penyelesaian sistem pertidaksamaan linier: y – 2x ≤ 5, y ≥ -2x, y ≤ a – 2x, maka bilangan bulat terkecil a yang memenuhi adalah ….

(A) -3
(B) 1
(C) -2
(D) -1
(E) 3

Jawaban: E
Konsep dasar program linear:
Suatu titik akan berada dalam daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan linier jika titik tersebut memenuhi semua pertidaksamaan yang ada.
Karena titik (x,y) = (1,1) berada dalam daerah penyelesaian, maka titik tersebut memenuhi semua pertidaksamaan. Bukti:

(x,y) = (1,1) → y – 2x ≤ 5
1 – (2)(1) ≤ 5
-1 ≤ 5 (Benar)
(x,y) = (1,1) → y ≥ -2x
1 ≥ -21
1 ≥ -2 (Benar)

(x,y) = (1,1) → y ≤ a – 2x
1 ≤ a – 21
3 ≤ a
Sehingga diperoleh a ≥ 3, artinya nilai terkecil a adalah 3. Jadi jawabannya adalah E.

Soal (8)
Luas suatu area peternakan adalah 150 m². Diperlukan tempat seluas 5 m² untuk membuat kandang itik dan 10 m² untuk kandang ayam. Setiap kandang itik mampu menghasilkan uang sebesar Rp 100.000 setiap harinya, sedangkan kandang ayam mampu menghasilkan uang sebesar Rp 200.000 setiap harinya. Tetapi area peternakan tersebut tidak mampu menampung lebih dari 18 kandang itik dan kandang ayam. Maka pendapatan maksimum dari area peternakan tersebut dalam sehari adalah ….

(A) Rp 2.400.000
(B) Rp 1.800.000
(C) Rp 3.000.000
(D) Rp 4.800.000
(E) Rp 3.500.000

Jawaban: C

Misal kandang itik = x dan kandang ayam = y
Kapasitas: x + y ≤ 18 → (0,18), (18,0)

Luas area: 5x + 10y ≤ 150 → x + 2y ≤ 30 → (0,15), (30,0)

Fungsi tujuan: f(x,y) = 100.000x+200.000y
Menentukan titik potong kedua garis:

x + y = 18
x + 2y = 30 _
-y = -12

y = 12, maka x = 6
Daerah penyelesaiannya adalah daerah yang tidak diarsir sebagai berikut:

Sumber : https://www.geogebra.org/geometry

Subtitusi semua titik pojok ke semua fungsi tujuan: f(x,y) = (100.000)(x) + (200.000)(y)
A(0,15) = (100.000)(0) + (200.000)(15) = 3.000.000

B(6,12) = (100.000)(6) + (200.000)(12) = 3.000.000

C(18,0) = (100.000)(18) + (200.000)(0)  =1.800.000

Sehingga pendapatan maksimumnya adalah Rp 3.000.000. Jadi jawaban yang benar adalah C.

Soal (9)
Fungsi f(x,y) = cx + 2y mempunyai kendala x + 2y ≥ 2, 2x + y ≥ 4, x ≥ 0, y ≥0 mencapai minimum di (2,1), jika c dalam interval ….

(A) 1 < c ≤ 4
(B) 1 < c < 4
(C) 1 > c > 4
(D) 1 ≤ c ≤ 4
(E) 1 ≥ c ≥ 4

Jawaban: D
Menyelesaikan program linier dengan metode gradien:
Cek letak titik (2,1) ke persamaan dengan cara subtitusi:

(x,y) = (2,1) → x + 2y ≥ 2
2 + (2)(1) ≥ 2
4 ≥ 2 (Benar)

(x,y) = (2,1) → 2x + y ≥ 4
(2)(2) + 1 ≥ 4
5 ≥ 4 (Benar)
Artinya titik (2,1) ada pada perpotongan kedua garis.

Menentukan gradien: ax + by = c, maka gradien m = -a/b
2x + y ≥ 4 → m₁ = -2
x + 2y ≥ 2 → m₂ = -12
Gradien fungsi tujuan f(x,y) = cx + 2y → m = -c/2

Berdasarkan metode gradien menyatakan:

Nilai maksimum atau minimum suatu fungsi tujuan terletak pada perpotongan kedua garis jika dan hanya jika gradien fungsi tujuannya terletak di antara gradien garis kendalanya.

Menentukan interval c berdasarkan metode gradien:
m₁ ≤  m ≤ m₂

-2 ≤ -c/2 ≤ -12    |× 2|
-4 ≤ -c ≤ -1       |×-1, tanda berubah|
4 ≥ c ≥ 1

Jadi interval c adalah 1≤c≤4. Jadi jawaban yang tepat adalah D.

Soal (10)
Nilai maksimum f(x,y) = 3x + 2y pada daerah x + 3y ≤ 9, 3x + 4y ≥ 12, x ≥ 0, y ≥0 adalah ….

(A) 6
(B) 12
(C) 18
(D) 24
(E) 27

Jawaban: E
Pembahasan diserahkan kepada pembaca!

Demikian pembahasan kita mengenai contoh soal program linear kelas 11 dan pembahasannya. Untuk melengkapi pemahaman Anda silahkan Anda mengunjungi laman kami yang lain. Sekian, semoga yang kami sajikan benar-benar bisa membantu memudahkan proses belajar Anda. Salam!

About Author