Contoh Soal Program Linear Kelas 11 dan Jawabannya

Contoh soal program linear kelas 11 dan jawabannya
Contoh soal program linear kelas 11 dan jawabannya

Contoh soal program linear kelas 11 – Hallo Sobat Dunia! Kalian yang duduk di kelas 11 dan sedang membutuhkan materi dan contoh soal program linear, maka tepat sekali jika membuka laman ini.

Contoh soal program linear kelas 11 dan jawabannya yang kami sajikan adalah untuk membantu kalian belajar mempersiapkan ulangan harian, Penilaian Tengah Semester (PTS), Penilaian Akhir Semester (PAS), atupun buat kalian yang sedang mempersiapkan diri pada tes seleksi masuk PTN UTBK-SMPTN.

Okey, kita akan pelajari beberapa hal terkait materi program linear kelas 11 serta contoh soalnya. Semoga yang tim haidunia.com sajikan bisa menjadi solusi kesulitan belajar pada materi ini.

Apa tujuan pembelajaran kita?

Tujuan pembelajaran pada materi program linear kelas 11 di antaranya adalah:

(1) Mampu membawa permasalahan ke dalam bentuk pertidaksamaan linear dua variabel

(2) Mampu memahami konsep penggunaan program linear dalam kehidupan sehari-hari

(3) Mampu menentukan nilai maksimum maupun minimum dari keadaan yang diberikan

(4) Mampu mengidentifikasi kasus daerah penyelesaian yang terjadi

Materi Program Linear Kelas 11

Materi program linear kelas 11 terdiri dari:

  1. Pertidaksamaan Linear Dua Variabel
  2. Program Linear

Berikut adalah uraian ringkasan materinya:

Pertidaksamaan Linear Dua Variabel

Prinsip pertidaksmaan hampir sama dengan prinsip persamaan. Di dalam persamaan kita harus menentukan nilai-nilai variabel yang sesuai dengan keadaan persamaan yang diberikan, maka di dalam pertidaksamaan kita juga harus menentukan nilai-nilai dari variabel yang memenuhi pertidaksamaan yang ada.

Bentuk-bentuk pertidaksamaan linear dua variabel:

  • ax + by + c < 0
  • ax + by + c ≤ 0
  • ax + by + c > 0
  • ax + by + c ≥ 0

Di mana:

a,b adalah koefisien (a≠ 0, b ≠0, a,b ∈R)

c adalah konstanta (c ∈ R)

x,y adalah variabel ( x, y ∈R)

Program Linear

Kajian program linear ini biasanya digunakan untuk mencapai tujuan-tujuan tertentu. Di mana dalam tujuan-tujuan tersebut tentunya ada syarat-syarat yang harus dipenuhi atau bisa kita sebut sebagai kendala. Semisal seorang pedagang memiliki modal sebanyak 2.000.000 untuk membeli kayu dan cat untuk meubel.

Nantinya produknya akan ia ke jual ke tempat-tempat besar untuk mendapatkan keuntungan yang besar. Dalam masalah tersebut, tujuan dari pedagang tersebut adalah untuk mendapatkan keuntungan, di mana kendalanya adalah ia hanya memiliki modal 2.000.000.

Contoh Soal Program Linear Kelas 11 dan Jawabannya

Contoh Soal Program Linear Kelas 11 dan jawabannya ini terdiri dari 10 soal pilihan ganda. Sengaja kami lengkapi dengan pembahasannya agar mempermudah proses kalian dalam memahami materi ini. Silahkan disimak, dan selamat belajar!

Contoh Soal Program Linear Kelas 11 (nomor 1)
Jika titik (x,y) memenuhi 2x + 3 ≥ y ≥ x², maka nilai maksimum x + 2y adalah ….

(A) 21
(B) 12
(C) 1
(D) -1
(E) 9

Jawaban: A
2x + 3 ≥ y ≥ x2 dapat dipecah menjadi y ≥ x2 dan y ≤ 2x + 3
Menentukan titik potong kedua kurva:

y1 = y2
x2 = 2x+3
x2 – 2x – 3 = 0
(x+1)(x-3) = 0
x = -1 atau x = 3

Untuk x = -1; y= -12 =1, maka titiknya menjadi (-1,1)
Untuk x = 3; y = 32 = 9, maka titiknya menjadi (3,9)

Menentukan nilai maksimum x +2 y
Untuk di titik (-1,1) → -1 + (2)(1) = 1
Untuk di titik (3,9) → 3 + (2)(9) = 21
Jadi nilai maksimum dari x + 2y adalah 21. Jadi jawaban yang benar adalah A.

Contoh Soal Program Linear Kelas 11 (nomor 2)
Pada sistem pertidaksamaan x + y ≥ 2, x – y ≤ 0, x – 4y ≥ -18 berlaku 3x + 2y ≥ k. Nilai k terbesar adalah ….

(A) 2
(B) 5
(C) 10
(D) 20
(E) 30

Jawaban: E
Untuk 3x + 2y ≥ k, nilai k terbesar sama dengan nilai maksimum dari (3x + 2y), sehingga fungsi tujuannya adalah f(x,y) = 3x + 2y dengan kendala x + y ≥ 2, x – y ≤ 0, x – 4y ≥ -18

Eliminasi x + y ≥ 2 dan x – y ≤ 0
x + y = 2
x – y = 0 _
2y = 2,

Maka y = 1; x = 1. Sehingga titiknya adalah (1,1).
Eliminasi x + y ≥ 2 dan x – 4y ≥ -18
x + y = 2
x – 4y = -18 _
5y = 20,

Maka y = 4; x = -2. Sehingga titiknya adalah (-2,4).
Eliminasi x – y ≤ 0 dan x – 4y ≥ -18

x – y = 0
x – 4y =- 18 _
3y = 18

Maka y = 6; x = 6. Sehingga titiknya adalah (6,6).
Subtitusikan semua titik ke fungsi tujuan f(x,y) = 3x + 2y

Untuk titik (1,1) nilai f(1,1) = 3(1) + 2(1) = 5

Untuk titik (-2,4) nilai f(-2,4) = 3(-2) + 2(4) = 2

Untuk titik (6,6) nilai f(6,6) = 3(6) + 2(6) = 30.

Nilai maksimum 3x + 2y = 30 sehingga k ≤ 3x + 2y → k ≤ 30, jadi nilai maksimum k adalah 30. Sehingga jawaban yang benar adalah E.

Contoh Soal Program Linear Kelas 11 (nomor 3)
Seorang penjahit pakaian akan membuat 2 model pakaian. Dia mempunyai persediaan kain polos 30 meter dan kain bermotif 15 meter. Model A memerlukan 1 meter kain polos dan 1 meter kain bermotif, sedangkan model B memerlukan 2 meter kain polos dan 0,5 kain bermotif. Maksimum banyak pakaian yang dapat dibuat adalah ….

(A) 15
(B) 20
(C) 25
(D) 30
(E) 35

Jawaban: B

Model A Model B Persediaan
Kain polos 1 2 30
Kain bermotif 1 0,5 15

Misalkan model A = x dan model B = y, maka sistem pertidaksamaannya adalah :
x + 2y ≤ 30
x + 0,5y ≤ 15
x ≥ 0
y ≥ 0

Fungsi obyektifnya adalah:
f(x,y) = x + y

Maka daerah penyelesaiannya adalah daerah yang tidak diarsir sebagai berikut:

Contoh Soal Program Linear
Ilustrasi contoh Soal Program Linear Kelas 11 Nomor 3

Sumber : https://www.geogebra.org/geometry

Titik potongnya adalah:
x + 2y = 30
x – 0.5y = 15_
1.5y = 15

y = 10, maka x = 10
Uji titik potong:
f(x,y) = x + y
f(0,15) = 0 + 15 = 15
f(10,10) = 10 + 10 = 20
f(15,0) = 15 + 0 = 15
Jadi banyak pakaian yang dapat dibentuk adalah 20. Jadi jawaban yang tepat adalah B.

Contoh Soal Program Linear Kelas 11 (nomor 4)
Untuk membuat barang  diperlukan  jam kerja mesin I dan  jam kerja mesin II. Sedangkan untuk barang  diperlukan jam kerja mesin I dan  jam kerja mesin II. Setiap hari mesin I bekerja tidak lebih dari jam kerja, sedangkan mesin II tidak lebih dari  jam kerja. Jika setiap hari dapat dihasilkan  barang  dan  barang , maka model matematikanya adalah ….

(A) 4x + 3y ≤ 10, 6x + 9y ≤ 15, x ≥ 0, y ≥ 0
(B) 4x + 3y ≤ 15, 6x + 9y ≤ 10, x ≥ 0, y ≥ 0
(C) 3x + 4y ≤ 10, 9x + 6y ≤ 15, x ≥ 0, y ≥ 0
(D) 2x + y ≤ 5, 3x + 3y ≤ 5, x ≥ 0, y ≥ 0
(E) 2x + 3y ≤ 5, x + 3y ≤ 5, x ≥ 0, y ≥ 0

 Jawaban: E

Barang A (x) Barang B (y) Maksimal jam kerja
Mesin I 4 6 10
Mesin II 3 9 15

Sehingga model matematikanya adalah:
4x + 6y ≤ 10 → 2x + 3y ≤ 5
3x + 9y ≤ 15 → x + 3y ≤ 5
x ≥ 0
y ≥ 0

Jadi model matematikanya adalah:

  • 2x + 3y ≤ 5
  •  x + 3y ≤ 5
  • x ≥ 0
  • y ≥ 0

Jadi jawaban yang tepat adalah E.

Contoh Soal Program Linear Kelas 11

contoh soal program linear kelas 11 berikut ini akan meminta pemahaman kalian mengenai cara membuat model-model matematika. Silahkan perhatikan kembali langkah-langkah membuat grafik dan menentukan wilayah himpunan penyelesaiannya!

Contoh Soal Program Linear Kelas 11 (nomor 5)
Nilai maksimum dari 15x + 10 untuk x dan y yang memenuhi x + y ≥ 15, 0 ≤ x ≤ 15, 0 ≤ y ≤ 20 adalah ….

(A) 245
(B) 145
(C) 225
(D) 10
(E) 20

Jawaban: A
Daerah penyelesaiannya adalah daerah yang tidak diarsir sebagai berikut :

Contoh Soal Program Linear Kelas 11
Ilustrasi Contoh Soal Program Linear Kelas 11 Nomor 5

Sumber: https://www.geogebra.org/geometry

Subtitusi semua titik pojok ke fungsi tujuan: f(x,y) = 15x + 10
A (0,15) = 15.0 + 10 = 10
B (0,20) = 15.0 + 10 = 10
C(15,20) = 15.15 + 10=235
D(15,0) = 15.15 + 10=235
Jadi nilai maksimumnya adalah 235. Jadi jawabannya adalah A.

Contoh Soal Program Linear Kelas 11 (nomor 6)
Pesawat penumpang berkapasitas 50kursi tempat duduk, setiap penumpang kelas ekonomi boleh membawa bagasi 20 kg, sedangkan kelas utama 50 kg. Kapasitas maksimum bagasi adalah 1300 kg. Harga tiket kelas ekonomi adalah Rp 000 sedangkan kelas utama adalah Rp 750.000. Supaya pendapatan dan penjualan tiket pada saat pesawat penuh mencapai maksimum, jumlah penduduk kelas utama haruslah ….

(A) 40
(B) 10
(C) 50
(D) 26
(E) 0

Jawaban: B
Misal kelas utama = x, dan kelas ekonomi =y
Kapasitas: x + y ≤ 50 → (0,50), (50,0)

Bagasi: 50x + 20y ≤ 1300 → 5x + 2y ≤ 130 → (0,65), (26,0)
Fungsi tujuan: f(x,y) = 750.000x + 350.000y
Menentukan titik potong kedua garis :

x + y = 50     |×2|  2x + 2y = 100
5x + 2y = 130  |×1| 5x + 2y = 130   _

-3x = -30

x = 10, maka y = 40
Daerah penyelesaiannya adalah daerah yang tidak diarsir sebagai berikut:

ilustrasi Contoh Soal Program Linear Kelas 11
ilustrasi Contoh Soal Program Linear Kelas 11 Nomor 6

(sumber: https://www.geogebra.org/geometry )

Subtitusi semua titik pojok ke semua fungsi tujuan:
f(x,y) = 750.000x + 350.000y

A(0,50) = (750.000)(0) + (350.000)(50) = 17.500.000
B(10,40) = (750.000)(10) + (350.000)(40) = 21.500.000
C(26,0) = (750.000)(26) + (350.000)(0)  =19.500.000

Sehingga pendapatan maksimumnya adalah Rp 21.500.000 saat penjualan kelas utama sebanyak 10 tiket dan kelas ekonomi sebanyak 40 tiket.
Jadi jumlah penumpang kelas utama adalah 10 orang. Jawaban yang benar adalah B.

Contoh Soal Program Linear Kelas 11 (nomor 7)
Agar titik (x,y) = (1,1) berada dalam penyelesaian sistem pertidaksamaan linier: y – 2x ≤ 5, y ≥ -2x, y ≤ a – 2x, maka bilangan bulat terkecil a yang memenuhi adalah ….

(A) -3
(B) 1
(C) -2
(D) -1
(E) 3

Jawaban: E
Konsep dasar program linear:
Suatu titik akan berada dalam daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan linier jika titik tersebut memenuhi semua pertidaksamaan yang ada.
Karena titik (x,y) = (1,1) berada dalam daerah penyelesaian, maka titik tersebut memenuhi semua pertidaksamaan. Bukti:

(x,y) = (1,1) → y – 2x ≤ 5
1 – (2)(1) ≤ 5
-1 ≤ 5 (Benar)
(x,y) = (1,1) → y ≥ -2x
1 ≥ -21
1 ≥ -2 (Benar)

(x,y) = (1,1) → y ≤ a – 2x
1 ≤ a – 21
3 ≤ a
Sehingga diperoleh a ≥ 3, artinya nilai terkecil a adalah 3. Jadi jawabannya adalah E.

Contoh Soal Program Linear Kelas 11 (nomor 8)
Luas suatu area peternakan adalah 150 m². Diperlukan tempat seluas 5 m² untuk membuat kandang itik dan 10 m² untuk kandang ayam. Setiap kandang itik mampu menghasilkan uang sebesar Rp 100.000 setiap harinya, sedangkan kandang ayam mampu menghasilkan uang sebesar Rp 200.000 setiap harinya. Tetapi area peternakan tersebut tidak mampu menampung lebih dari 18 kandang itik dan kandang ayam. Maka pendapatan maksimum dari area peternakan tersebut dalam sehari adalah ….

(A) Rp 2.400.000
(B) Rp 1.800.000
(C) Rp 3.000.000
(D) Rp 4.800.000
(E) Rp 3.500.000

Jawaban: C

Misal kandang itik = x dan kandang ayam = y
Kapasitas: x + y ≤ 18 → (0,18), (18,0)

Luas area: 5x + 10y ≤ 150 → x + 2y ≤ 30 → (0,15), (30,0)

Fungsi tujuan: f(x,y) = 100.000x+200.000y
Menentukan titik potong kedua garis:

x + y = 18
x + 2y = 30 _
-y = -12

y = 12, maka x = 6
Daerah penyelesaiannya adalah daerah yang tidak diarsir sebagai berikut:

ilustrasi Contoh Soal Program Linear Kelas 11
Ilustrasi Contoh Soal Program Linear Kelas 11 Nomor 8

Sumber : https://www.geogebra.org/geometry

Subtitusi semua titik pojok ke semua fungsi tujuan: f(x,y) = (100.000)(x) + (200.000)(y)
A(0,15) = (100.000)(0) + (200.000)(15) = 3.000.000

B(6,12) = (100.000)(6) + (200.000)(12) = 3.000.000

C(18,0) = (100.000)(18) + (200.000)(0)  =1.800.000

Sehingga pendapatan maksimumnya adalah Rp 3.000.000. Jadi jawaban yang benar adalah C.

Contoh Soal Program Linear Kelas 11 (nomor 9)
Fungsi f(x,y) = cx + 2y mempunyai kendala x + 2y ≥ 2, 2x + y ≥ 4, x ≥ 0, y ≥0 mencapai minimum di (2,1), jika c dalam interval ….

(A) 1 < c ≤ 4
(B) 1 < c < 4
(C) 1 > c > 4
(D) 1 ≤ c ≤ 4
(E) 1 ≥ c ≥ 4

Jawaban: D
Menyelesaikan program linier dengan metode gradien:
Cek letak titik (2,1) ke persamaan dengan cara subtitusi:

(x,y) = (2,1) → x + 2y ≥ 2
2 + (2)(1) ≥ 2
4 ≥ 2 (Benar)

(x,y) = (2,1) → 2x + y ≥ 4
(2)(2) + 1 ≥ 4
5 ≥ 4 (Benar)
Artinya titik (2,1) ada pada perpotongan kedua garis.

Menentukan gradien: ax + by = c, maka gradien m = -a/b
2x + y ≥ 4 → m1 = -2
x + 2y ≥ 2 → m2 = -12
Gradien fungsi tujuan f(x,y) = cx + 2y → m = -c/2

Berdasarkan metode gradien menyatakan:

Nilai maksimum atau minimum suatu fungsi tujuan terletak pada perpotongan kedua garis jika dan hanya jika gradien fungsi tujuannya terletak di antara gradien garis kendalanya.

Menentukan interval c berdasarkan metode gradien:
m1 ≤  m ≤ m2

-2 ≤ -c/2 ≤ -12    |× 2|
-4 ≤ -c ≤ -1       |×-1, tanda berubah|
4 ≥ c ≥ 1

Jadi interval c adalah 1≤c≤4. Jadi jawaban yang tepat adalah D.

Contoh Soal Program Linear Kelas 11 (nomor 10)
Nilai maksimum f(x,y) = 3x + 2y pada daerah x + 3y ≤ 9, 3x + 4y ≥ 12, x ≥ 0, y ≥0 adalah ….

(A) 6
(B) 12
(C) 18
(D) 24
(E) 27

Jawaban: E
Pembahasan diserahkan kepada pembaca!

Demikian pembahasan kita mengenai contoh soal program linear kelas 11 dan pembahasannya. Untuk melengkapi pemahaman Anda mengenai materi ini, silahkan Anda mengunjungi laman; soal program linear kelas 11, contoh soal program linear dan jawabannya kelas 11, latihan soal program linear kelas 11, pertidaksamaan linear kelas 11, soal matematika kelas 11 program linear, kumpulan soal program linear kelas 11.  Sekian, semoga yang kami sajikan benar-benar bisa membantu memudahkan proses belajar Anda. Salam!

Related posts

Leave a Reply

Your email address will not be published.